Chiffrement de Vigenère

soit $m \in \mathbb{Z}_{> 0},\; \EuScript{P}$= $\EuScript{C}$= $\frac{\mathbb{Z}}{26\mathbb{Z}}^{m}$ (m-uplet de $\frac{\mathbb{Z}}{26\mathbb{Z}}$, i.e. un mot de $m$ lettres)

$m$ introduit la notion de chiffrement poly-alphabétique par bloc, le texte clair étant découpé en autant de blocs de taille $m$ que nécessaire à son chiffrement (les chiffres suivants seront tous de ce type).

$\mid \EuScript{K} \mid\; = 26^{m}$

$K = (k_{1}, k_{2}, ... ,k_{m}) \in \EuScript{K},\; x=(x_{1},x_{2}, ..., x_{m}) \in \EuScript{P},\; y=(y_{1},y_{2}, ..., y_{m}) \in \EuScript{C}$

$E_{K}(x) = (x_{1}+k_{1}, x_{2}+k_{2}, ... , x_{m}+k_{m}) = y$

$D_{K}(y) = (y_{1}-k_{1}, y_{2}-k_{2}, ... , y_{m}-k_{m}) = x$.

vérifions (1) : $D_{K}oE_{K}(x) = (x_{1}+k_{1})-k_{1}, ...) = x$.

On peut aussi définir le chiffrement de Vigenère comme l'application cyclique au texte clair (de $m-$mot en $m-$mot) de $m$ substitutions différentes :

$E_{K}(x) = \pi_1(x_{1}), \pi_2(x_{2}), ..., \pi_m(x_{m}) =y$

exemple :

en utilisant comme mot clé CHIFFRE, le texte

CE TEXTE EST CHIFFRE PAR VIGENERE

(que l'on simplifie en CETEXTEESTCHIFFREPARVIGENERE)

devient :

	CHIFFRECHIFFRECHIFFRECHIFFRE
+	CETEXTEESTCHIFFREPARVIGENERE
=	FMCKDLJHACINAKIZNVGJALONTKJJ

Remarque : ces chiffrements (substitution et Vigenère) tel quels ou étendus sur des alphabets $\in \mathbb{F}_2^a$ (afin de répondre aux besoins modernes), sont exposés aux attaques statistiques par analyse de fréquences.
Dans ce type de crypto-systèmes on choisit des permutations $\pi : \mathbb{F}_2^a \rightarrow \mathbb{F}_2^a$ aléatoires (i.e. dont la donnée équivaut à la donnée de $\pi(x),\; \forall x \in \mathbb{F}_2^a$ (et pas moins)) qui sont représentées par $2^a$ éléments. Or pour résister au attaques statistiques il est nécessaire de choisir un $a$ ``grand'', ce qui cause rapidement une explosion combinatoire. Pour traiter de très grand alphabets on se restreint plutôt à des $\pi$ linéaires, dont la donnée n'est plus équivalente à la donnée de $\pi(x)$ pour tout $x$, mais à la donnée de la matrice $R$ de $\pi$ ($a\times a$ bits, $\pi(x) = xR$). On travaille alors sur des blocs $x$ du texte clair de taille $a$ tels que $y = xR$. Ces systèmes ne sont pas plus sûr que les premiers car ils sont sensibles à des attaques à clair connu de complexité polynomiale. Les chiffrements de Hill et par transposition sont des exemples de systèmes linéaires.