Proposition

Soit $N$ impair et premier, $a \in \mathbb{Z}, a \wedge N = 1$.

On écrit $N-1 = 2^s.m$ avec m impair, alors :

$$a^m \;(= a ^{\frac{N-1}{2^s}}) \equiv 1 \;(mod\; N)$$

ou bien

$$\exists\; t \in \mathbb{Z}_{>0},\; 0 \leq t \leq s-1,\; a^{2^t.m} \equiv -1 \;(mod\; N).$$